Eje de Simetria

El eje de simetría es la recta que pasa por el vertice de una parabola que divide la
parábola en dos mitades congruentes.

La función cuadrática f(x)=a(x-h)²+k tiene el eje de simetría en x=k




Funciones Cuadráticas
Forma General
f(x)=a²+bx+c

Forma Estándar
f(x)=a(x-h)²+k

Ej. f(x)=x²+2x-8 (b/2)²
=(x²+2x)-8 (2/2)²= 1
=(x²+2x+1-1)-8
=(x²+2x+1)-8-1
=(x²+2x+1)-9
=(x+1)²-9

a)Vertice=(-1-9)
b)Eje de simetria= x=-1
c)Int en y= (0,-8)
(x=0)

f(x)=(x+1)²-9
y=(0+1)²-9
y=1-9
y=-8

d)Int en x x1=(2,0)
(y=0) x2=(-4,0)


0=(x+1)²-9
9=(x+1)²
+-√9=√(x+1)²
+-3=x+1
-1+-3=x
x=-1+3 x=-1-3
x=2 x=-4

e) Concavidad= a>0 U

Funcion Cuadratica

Una funcion cuadratica es una funcion que puede ser escrita en la forma:

Forma Estandar:

f(x)=a(x-h)^2+k donde a no puede ser 0.

Forma General:

ax^2+bx+c=0

La grafica de una funcion cuadratica tiene forma de U y se conoce como parabola.

Vertice de una Parabola:

• Si una parabola abre hacia arriba tiene un punto minimo.

• Si una parabola abre hacia abajo, tiene un punto maximo.

• Este punto mas bajo o mas alto es el vertice de la parabola.
• La forma del vertice de una funcion cuadratica es f(x)=a(x-h)^2+k.
• El vertice de una parabola es (h,k).

f(x)=a(x-h)^2+k

• a - indica reflexion del eje de x,y/o una compresion/estiramiento vertical.
• h - indica translacion horizontal.
• k - indica una translacion vertical.

Tomar en cuenta a la hora de solucionar:

• Vertice (h,k)
• Eje de Simetria
• Intercepto en y
• Intercepto en x (discriminante)
• Concavidad
• Tabla de Valores
• Grafica

Funciones Uno a Uno & Sus Inversas

Funciones Uno a Uno
En la clase de hoy hablamos y duscutimos un tema nuevo, el cual es bastante facil que es: Funciones uno a unos & funciones Inversas.


Def: De una funcion uno a uno, una funcion con dominio A se conoce como uno a uno, si no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango, esto es:
f(x1) no es igual f(x2) siempre que x1 no sea igual que x2.


f es uno a uno


g no es funcion uno a uno



*Prueba de la recta horizontal
-Una funcion es uno a uno si ninguna recta horizontal interseca su grafica mas de una vez. NO es funcion uno a uno.






Funciones Inversas

Las funciones uno a uno son importantes porque estas tienen funciones inversas con la siguinete definicion:
-Sea f una funcion uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su funcion inversa f^-1 tiene dominio B y rango A esta definida por: f^-1= x ► f(x)= y
ej:
f(x)=y

y=3x-5

x= 3y-5

x+5/3=3y/3 *se cancelan los 3

f^-1(x)= x+5/3

*smj

Comprension De Funciones

Dadas dos funciones (f) y (g), la funcion compuesta (f) o (g) tambien conocida como composicion de (f) y (g) esta definida por:
p.193

a. (f o g)(x)= f(g(x))
b. (g o f)(x)= g(f(x))

Ejemplo 1:
f(x)= 5X² -3
g(x)= x+5

a. (f o g)(x)
= 5(x+5)²-3
= 5(X²+10x+25)-3
= 5X²+50x+125-3
= 5X²+50x+122

b. (g o f)(x)= 5X²-3+5
= 5X²+2

Ejemplo 2:
f(x)= √x
g(x)= X²+1

a. (f o g)(x)
=√X²+1

b. (g o f)(x)
=(√X)²+1
= x+1
Ejemplo 3:
(g o g)(x)
= X²+1
= (X²+1)²+1
= x⁴+2x²+1+1
= x⁴+2x²+2

Ejemplo 4:
(f o g o h)(x)
f(x)= 1/x
g(x)= x³
h(x)= X²+2

= 1/x
= 1/x³
= 1/(X²=2)³
= 1/(X²)³+3(X²)²(2)+3(x²)(2)²+2(3)
= 1/x⁶+6x⁴ +12x²+8

G.M.R.S

Combinacion de Funciones y sus Dominios.

La seccion trabajada hoy se baso en la continuacion del tema Combinacion de Funciones y permanecimos familiarizandonos con encontrar las funciones de: f+g,f-g,f(g),f/g.

ejemplo :

f(x)= x³ + 2x²

g(x)=3x²-1

a)x³ + 2x²+3x²-1 f+g(x)

=x³ + 6x²-1

b)x³ + 2x²-3x²+1 f-g(x)

= x³ + x²+1

c)(x³ + 2x²)(3x²+1) f(g)(x)

=3x^5-x³ +6x⁴ -2x²

d)x³ + 2x² /3x²-1 f/g(x)

Dos funciones Fy G se pueden unir para formar nuevas funciones .