Regla de los Signos de Descartes

Regla de los Signos de Descartes:

• El numero de ceros reales positivos es igual # de variaciones en el signo de los coeficientes diferentes de ceros de f(x)


• El # de ceros reales es igual al # de variaciones en signos de los coeficientes de cero de f(-x)

f(x)= x^3+2x^2-5x-6
f(-x)= -x^3+2x^2+5X-6

0=1 positivo

0= 2 negativo

p/q= factores de ultimo termoni/factores del primer termino

p/q= ±1±2±3±6/±1

Los posibles ceros son: ±1±2±3±6

-1 I 1 2 -5 -6
I
I -1 -1 6
I____________
-3 I 1 1 -6 0
I
I -3 6
I___________
1 -2 0

X-2=0
x=2

x1=-1

x2=-3

x3=2

f(x)=(x+1)(x+3)(x-2)

Funciones Polinomicas

-Teorema de factorizacion completa-:
Si p(x) es un polinomio de grado n>0 , entonces existen numeros complejos a,c,C2.....Cn(con a no es igual a 0)

p(x)= a(x-c)(x-C2).....(x-Cn)

Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos. Si el factor x-c aparece K aveces en la factorizacion completa del polinomio p(x), decimos que c es un cero de multipicidad K.

Para Para cada funcion polinomial:
a. halle las raices reales.
b. Halle el intercepto en Y.
c. Determine los intervalos donde la grafica esta sobre el eje de X.
d.Determine los intervalos donde la grafica esta debajo del eje de X.
e. trace un bosquejo de la grafica F.



Ejemplo:
4x^3-8x^2
-4x^2(x+2)
-4x^2/-4=0/4------> x1=0 x2=0


x+2=0------>x3=-2

f(x)>0(infinito,-2)
f(x)<0(-2,0)u(0,infinito)

Intercepto en x:(0,0)(2,0)
Intercepto en Y:(0,0)


Grafica:

Funciones Polinomiales

Grafica de una Funcion Polinomial

- Grado del polinomio : n

- Multiplicidad par Grafica toca el eje de X

- Multiplicidad impar Grafica cruza del eje de X

- Entre ceros , la grafica puede estar debajo o encima del eje de X : depende del valor del numero del intervalo.

-Compartimiento terminal para grado impar .Si el coeficiente principal es positivo,comienza abajo termina arriba.Si , es negativo , comienza arriba , termina abajo .

-Comportamiento terminal para grado par : si el coeficiente principal es positivo , comienza arriba termina arriba , si es negativa comienza abajo termina abajo.

Funciones Polinomoales

f(x)= x^3-x
=x(x^2-1)
=x(x+1)(x+1)

0=x(x+1)(x-1)

x1=0 x2=1 x3=-1




tabla de valores

X
-2
-0.5
0.5
2
-1
0
1
1.5
-1.5

Y
-6
0.377
-0.37
6
0
0
0
1.8
-1.8

Funciones Polinomiales

f(x)=An+X^n+An1X^n1+An2X^n2+...
donde An, An1... son numeros reales y n es entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los numeros reales, osea, de negativo infinito a positivo infinito. Una funcion polinomial es una cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una funcion polinomial es el grado del polinomio en una variable, en otras palabras, el numero del exponente mas grande en una variable.

Ej:
f(x)=3x^4-2x^3+8x^2+7x+1
f(x)=-6x^2-2x+1
f(x)=x^5-3x^2+1

Graficas de una funcion polinomial:
f(x)=ax^n

• Cuando n es impar y a > 0 comienza de abajo hacia arriba.
• Cuando n es impar y a < 0 comienza de arriba hacia abajo.
• Cuando n es par y a > 0 comienza arriba y termina arriba.
• Cuando n es par y a < 0 comienza abajo y termina abajo.
  

Problemas de Aplicacion

En estos dias empezamos con los problemas verbales uno de ellos es:

Caida Libre - Funcion de Posicion

A un tiempo cero (t=0) un clavadista se impulsa a una velocidad de 16pies/seg desde una plataforma que se encuentra a una altura de 32 pies sobre el agua.

s(t)= -1/2gt^2 + vot +so

g= 9.8m/s o 32pies

t= tiempo

vo= velocidad inicial

so+ posicion inicia


a) ¿Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?

s(t)= -1/2(32)t^2 + 16t +32

s(t)= -16t^2 +16t + 32

b)¿Cual es la altura maxima que alcanza el clavadista?

S(0.5)=-16(.5)^2+16(.5)+32S(.5)
h max=36pies

c)¿Cuanto tiempo le alcanzara al clavadista alcanzar la altura maxima?

t=-b/2a

t=-16/2(-16)

t=.5 segundos

d)¿Cuando el clavadista toca o llega al agua?

0=-16t^2+16t+32

0/-16=-16/-16 (t^2-t-2) *se cancelan los -16

0= (t+1) (t-2)

t+1=0

t1=0/1 N/A

t-2=0

t2=2secs.

e)¿A que altura se encontraba el clavadista despues de 1sec. de haberse lanzado?

s(t)= -16t^2 +16t + 32

s(1)= -16(1)^2+16(1)+32

*SMJ

Funciones Cuadraticas

-Forma Estandar-ejemplo #1:

f(x)= -2x^2-4x+2
=(-2x^2-4x)+2
=-2(x^2+2x)+2
=-2(x^2+2x+1-1)+2
=-2(x^2+2x+1)+2+2
=-2(x+1)^2+4
f(x)= -2(x+1)^2+4

Una de las formulas que se utilizan en estos ejercicios es:
(b/2)^2

y= -2x^2-4x+2
y= -2(0)^2-4(0)+2
y= 0-0+2
y=2

0= -2(x+1)^2+4
-4/-2= -2(x+1)^2/_2 -------> los negativo 2 se cancelan
±√2=√(x+1)^2
±√2=x+1
-1+√2= 0.41
-1-√2= -2.41


x= -b±√b^2-4ac/2a
x=4±√(-4)^2-4(-2)(2)/2(-2)
x=4±√16+16/-4
x=4±√32/-4
x=4±√16.2/4
x=4±4√2/-4
x=4(1±√2)/-4 -------> se cancelan los 4
x=1±√2
x1= 1+√2= 2.41
x2=1-√2=-.41


Vertice: (-1,4)
eje de simetria: x=-1
concavidad: a < 0 es concava hacia abajo intercepto en y: (0,2) intercepto en x: (0.41,0) (-2.41,0) Tabla De Valores: x Y -1 4 0 2 0.41 0 -2.41 0 -2 2 -3 4 1 -4 -3.5 -8.5 1.5 -8.5

G.M.R.S

Funcion Cuadratica en su Froma General

La forma general de una función cuadrática es; f(x)= x²+bx+c , donde a,b y c son

números reales.

Ejemplo de forma general :

f(x)= 3x²+7x-6

Concavidad= Cóncava hacia arriba

Vértice ( -1.17, -10.1 )

x=-b/2a

=-7/2(3)

=-1.17

y=f(-1.17)=3(-1.17)²+7(-1.17) -6

=4.11-8.19-6

=-10.1

Eje de simetría x = 1.17

Interceptos en el eje de x ( 0.67 , 0 ) y ( - 3 , 0 )

Este es un ejemplo de la funcion es su forma general , de cada ejercicio se saca tambien sus valores para proceder a demostrar la funcion en su manera grafica con sus valores ya obtenidos.