Geometría Analítica

Formulas para Adicion y Sustraccion

Formulas para el seno:

a. sen(s+t)=(sen s)(cos t)+(cos s)(sen t)

b. sen(s-t)=(sen s)(cos t)-(cos s)(sen t)

Formulas para el coseno:

a. cos(s+t)=(cos s)(cos t)-(sen s)(sen t)

b. cos(s-t)=(cos s)(cos t)+(sen s)(sen t)

Formulas para la Tangente:

a. tan(s+t)= tan s + tan t / 1-(tan s)(tan t)

b. tan(s-t)= tan s - tan t / 1+(tan s)(tan t)

Identidades Trigonometricas

Demostrar que:
sen θ/cos θ + cos θ/1+sen θ= sec θ
(1+sen θ)sen θ+cos^2 θ/(cos θ)(1+sen θ)
sen θ+sen^2 θ+cos^2 θ/(cos θ)(1+sen θ)
sen θ+1*/cos θ(1+sen θ)* se cancelan*
=1/cos θ = sec θ



tan^ 2θcos^2 θ+cot^2 θsen^2 θ=1
sen^2 θ/cos^2 θ*xcos^2 θ+cot^2 θ/sen^2 θ*Xsen^2 θ*
*se cancelan
=sen^2 θ+cos^2 θ=1

*SMJ

Graficas Trigonometricas

Periodo = 2π
DF = (-∞,∞)
RF = [-1, 1]
Int X = 0,π,2π
Int Y = 0
Amplitud = 1


Periodo = 2π
DF = (-∞,∞)
RF = [-1, 1]
Int X = π/2,3π/2
Int Y = 1
Amplitud = 1



Periodo = π
DF = todos los reales menos π/2 y sus multiplos
RF = [-∞,∞]
Int X = 0, π, 2π, 3π
Int Y = 0
Amplitud = Infinito

Resolviendo el Angulo Triangulo

Comenzamos la clase viendo las identidades basicas de la trigonometria .

estas son las inversas de las originales: seno , coseno y tangente.

Las mismas fueron provistas por el maestro en el papel dado el dia que comenzamos con la trigonometria. Ya las identidades pitagoricas fueron discutidas y prosedimos a estudiar las Identidades Pitagoricas.

Estas son:

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg²a

Ejemplo :

Debes hallar las funciones restantes de la trigonometria.Sabiendo

que tg α = 2, y que 180º < α <270°. C

alcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Funciones trigonométricas de ángulos

En la sección se amplían las relaciones trigonométricas a todos los ángulos definiendo las funciones trigonométricas de ángulos. Con estas funciones se pueden resolver problemas prácticos en los que los ángulos NO necesariamente son ángulos.

Definicion de funciones trigonometricas

Sea θ un angulo en posicion estandar y sea P(x,y) un punto sobre el lado terminal. Si r=√x^2+y^2 es la distancia del origen al P(x,y) entonces;

sen θ= y/r csc θ=r/y

cos θ=x/r sec θ=r/x

tanb θ=y/x cot θ=x/y

Definicion de Funciones Trigonometricas

Angulos en Posicion Estandar

Un angulo en una posicion estandar si se dibuja en el plano xy con su vertice en el origen y su lado inicial en eje x positivo.





angulo de 30ºgrados



*Dos angulos son coterminales si coinciden sus lados. [ Comienzan y terminan en el mismo lado ]




* si va encontra de las manecillas del reloj es positivo
* si va a favor de las manecillas del reloj es negativo

Angulos Coterminales:
Encuentre angulos que son coterminales con el angulo 0=30grados o 3.14/3 en posicion estandar.




Para hallar angulos positivos que son coterminales con 0, su suma cualquier multipolo de 2π
Por lo tanto:
π/3 +2π= 7π/3
π/3+4π=13π/3

Para hallar angulos negativos que son coterminales, se resta cualquier multiplo de 2π:
π/3-2π=-5π/3
π/3-4π=-11π/3

*SMJ

Trigonemetria de Angulos Rectos

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

Todas estas son funciones trigonometricas y todas guardan relacion. X = COS y Y SEN.

El seno guarda relacion con la cosecante. El coseno guarda relacion con la secante y la tangente con el cotangente.

Funciones Trigonometricas de angulo

Medida angular

Las funciones trigonometricas se pueden dividir en dos maneras
distintas, pero equivalentes como funciones de numeros reales o como
funciones de angulos.

Un angulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360
de una revolucion completa. En calculo y otras ramas de las matematicas,
se usa un modo mas natural de medir angulos, la medida en radianes. La
cantidad que se abre un angulo se mide a largo del arco de un circulo
de radio 1 con su centro en el vertice del angulo

La medida del angulo es la cantidad de rotacion respecto al vertice
requerido para mover R1, sobre R2. Esto es cuando se abre el angulo


Definicion de medida en radianes

Si un circulo de radio 1 se trazta con el vertice de un angulo en
un centro, entonces la medida de este angulos en radianes(rad) es
la longitud del arco que sostiene el angulo.

Cambiar de grados a radianes
30º=30(π/180)
=30π/180
=π/6

cambiar de radianesz a grados
7π/6=7π/6(180/π) *se cancelan los π
=1260/6
=210º

Ley de Enfriamiento de Newton

A(t)=Ts+Aoe^-kt

Una taza de cafe tiene una temperatura de 200 grados F y se coloca en una habitacion que esta bajo 70 grados F. Despues de 10min la temperatura del cafe es 150 grados F.

a) Encuentre una funcion que modele la temperatura del cafe?

b) Calcula la temp. del cafe despues de 15min.

c) En que momento el cafe se habra enfriado a 100 grado F.

A0= Tc-Ts

A0= 200-70= 130 grados.

Modelos de Crecimiento y Decaimiento Exponencial

CRECIMIENTO:
A(t)=A0e^kt

Un cultivo comienza con 10,000 bacterias y el # se dupliza 40m

a)Encuentre una funcion que modele el # de bacterias en el tiempo t
A(t)=10,000e^k(40)
20,000/10,000=10,000e^40k/10,000
2=e^40k
ln2/40=40k/40
.0173aprox.=k

b)Encuentre el numero de bacterias despues de 1H
A(t)=10,000e^.0173(60)
A(t)= aprox.28,236bacterias

c)Despues de cuantos minutos habra 50,000 bacterias
50,000/10,000=10,000e^.0173t
5=e^.0173t
ln5/.0173=.0173t/.0173t
93min=t


DECAIMIENTO:
A(t)=A0e^-kt

Si un hueso encontrado tiene el 73% de su C14 comparado con un ser vivo ¿Cuantos años hace que murio?

Datos: 50% Vida Media C14= aprox. 5,730años

k=ln2/t
k=ln2/5730

A(t)=A0e^-kt
.73=e^-1.2097*10^-4t
ln.73/-1.2097*10^-4=-1.2097*10^-4t/-1.2097*10^-4
2,602años=t

Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

LogₐX = logₐY
X=Y
bᵡ=bᵞ
5ᵡ = 4^(x+1)
ln 5ᵡ= ln 4^(x+1)
X ln 5= (X+1) ln 4
X ln 5= Xln 4+ln 4
X ln 5- Xln 4=ln4

(X(ln5-ln4)=ln4)/(ln5-ln4 ln5-ln4 )
x≈6.2126

2^(1-x )=3
ln2^(1-x)= ln3
(1-X) ln 2=ln3
Ln2-Xln2=ln3
(ln2-ln3=xln2)/(ln2 ln2)
x≈-0.5849


Log2(2X+1)=3
2^3=2X+1
8=2X+1
(-1+8=2X)/(2 2)
X=7/2
2log5X=3log5 4
x^2=4^3
√(x^2 )=4^3
X=±8

2^2x+2^x-12=0
(2^x)^2+2^x-12=0
y^2+y-12=0
(y-3)(y+4)=0

Ln3=ln2^x
(ln3=xln2)/(ln2 ln2)
x≈1.5849

Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

Hoy trabajamos con ejemplos de ecuaciones exponenciales y logaritmicas .A continuacion seran presentadas varios ejercicios para visualizarlos de ambas formas .

FORMA EXPONECIAL

1. Peocedimiento y resultado:

2. Procedimeinto y resultado:

FORMA LOGARITMICA

1.

PROCEDIMIENTO Y RESULTADO:

2.

PROCEDIMEINTO Y RESULTADO:

Leyes de los logaritmos

En esta seccion se estudian las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades dan a las funciones logaritmos una amplia variedad de aplicaciones.

Ya que los logaritmos son exponentes, las leyes de los exponen dan lugar a las leyes de los logaritmos.


Sea A un numero positivo con A ≠ 1

Sean m>0, n>0, r numeros reales cualesquiera, Entonces:

1. LOGa (m.n)= LOGa m + LOGa n

Ej:LOG20=LOG2+LOG2+LOG5

2.LOGa (m/n)= LOGa m - LOGa n

Ej:LOG2 (5/2)= LOG2 5-LOG2 3

3.LOGa m^r = r LOGa m

Ej: LOG2 X^3= 3LOG2 X

4.LOGa n√m = LOGa m^1/n = 1 /b LOGa n

5.LOGa (a)= 1

6.LOGa m(a)^n = n/m

Definicion de una Funcion Logaritmica

Sea A un numero positivo con a no puede ser 1. La funcion logaritmica con base A, denotada por LOGa^x=y <-> a^y=x
Asi, logaX es el exponente al que se debe elevar la base A para dar X.

Ej: 2^3=8 <-> log2 8 = 3

• Propiedad

LOGa 1 = 0
Razon
Se debe elevar A a la potencia 0 para obtener 1.

• Propiedad

LOGa A = 1
Razon
Se debe elevar a la potencia 1 para obtener A.

• Propiedad

LOGa A^x = x
Razon
Se debe elevar A a la potencia X para obtener A^x.

• Propiedad

A^LOGa^x=x
LOGa^x=LOGa^x
Razon
LOGa^x es la potencia la cual se debe elevar A para obtener X.


Fabiola Zayas

Funcion Exponencial Natural

Interes compuesto:
A(t)= P(l+r/n)^nt

Interes compuesto de forma continua:
A(t)=Pe^rt

P= principal
r= tasa de interes
n= numero de veces que el interes se compone por año
t= numero de años

Ej: Se invierte $1,000 a una tasa de interes de 12% anual por 3 años y el interes se compone anual, semianual, trimestral, mensual o diario.

Anual: A(t)=1,000(1+0.12/1)^1(3)
=$1,404.92

Semianual: A(t)=1,000(1+0.12/2)^2(3)
=$1,418.52

Trimestral: A(t)=1,000(1+0.12/4)^4(3)
=$1,425.76

Mensual: A(t)=1,000(1+0.12/12)^12(3)
=$1,430.77

Diario: A(t)=1,000(1+0.12/365)^365(3)
=$1,433.24

*SMJ

Funciones Exponenciales Naturales(logaritmos)

La funcion exponencial natural es la funcion exponencial
f(x)- e^x
con base e. Es comun referirse a ella como la funcion exponencial.



e^(1)=2.71828
modelo de crecimiento
n(t)=A.e^kt
A.->candidad inicial
K-> constante de crecimiento
t->tiempo

1. El conteo inicial de bacterias en un cultivo es de 500 bacterias. Posteriormente un biologo hace un conteo de la muestra y encuentra que la taza relativa de crecimientoes de 40% por hora. Indique le cantidad de bacterias luego de 10 hora.

n(t)=500e^0.40(10)
=27,300 bacterias

2. La poblacion de ratas en New York esta dada por la siguiente formula n(t)=54e^0.12(t) donde t es el tiempo en años y la poblacion esta dada en millones desde el 1990. ¿Cual es la taza realtiva de crecimiento? ¿Cual fue la poblacion en el 1990? ¿Cual es la poblacion esperada para el 2025?

a. crece a un 12% po año
b. 54 millones
c. n(t)=54^0.12(35)
= 3,601 millones

John Napier

John Napier

Con la reducción del trabajo de variosmeses de cálculo a unos pocos días,
el invento de los logaritmos parece haber
duplicado la vida de los astrónomos.

John Napier (Neper), barón de Merchiston (Edimburgo, 1550 - 4 de abril de 1617) fue un matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. También hizo común el uso del punto decimal en las operaciones aritmética.

Biografía

Nació en el año 1550 en el castillo de Merchiston (Edimburgo). A los trece años, en 1563 comenzó sus estudios en la Universidad de Saint-Andrews, de la que salió años más tarde para viajar por el continente europeo.

De regreso a Merchiston en 1571 contrajo matrimonio al año siguiente, administrando a partir de entonces los bienes de la familia por encargo de su padre, al tiempo que continuaba sus estudios de matemáticas y teología.

A pesar de haber pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemáticas, para Napier era ésta una actividad de distracción siendo su preocupación fundamental la exégesis del Apocalipsis, a la que se consagró desde su estancia en el colegio. Fruto de esta labor fue su publicaciónDescubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan, por dos tratados: uno que busca y prueba la verdadera interpretación, y otro que aplica al texto esta interpretación parafrásticamente e históricamente. La originalidad de su estudio es la aplicación del formalismo matemático en la argumentación, de modo que admitiendo ciertos postulados, llega a demostrar sus proposiciones. Entre ellas, Napier predijo el fin del mundo para los años 1668 a 1700.^{[cita requerida]}

En 1614 Napier publica su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicatio, en la que da a conocer los logaritmos que él llamó números artificiales. En dicha obra promete una explicación que la muerte le impidió publicar, pero que fue añadida por su hijo Roberto en la segunda edición publicada en 1619.

Merced a estos números las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones, lo que no sólo simplificó enormemente la realización manual de los cálculos matemáticos, sino que permitió realizar otros que sin su invención no hubieran sido posibles.

En 1617 apareció su obra Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendice expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accesit et arithmeticæ localis liber unus, en la que describe el ábaco neperiano.

Murio en el año 1617.fue un gran professional de la matematicas, contribuyendo asi a la lista de profesores matematicos

Funciones exponenciales y logartmicas

Funciones Exponenciales

Ej.

f(x)=2^x
Es una función exponencial con base 2.

Veamos con la rapidez que crece.

f(3)= 2^3= 8
f(10)= 2^10= 1,024
f(30)= 2^30= 1,073,741,824

Si se compara con:
g(x)= x^2 donde, g(30)= 30^2= 900


Características de la función exponencial:
f(x)= a^x cuando a>1

1. Dominio (-infinito,+infinito)
2. Rango (0, +infinito)
3. Tiene asintota horizontal en el eje de x
4. Int en Y es (0,1)
5. Pasa por los puntos (0.1)(1,a)(-1,1/a)